Question

在圖1和圖2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直徑為10．

（1）如圖1，若AB與⊙O相切于點C，試求OA的值；
（2）如圖2，若AB與⊙O相交于D、E兩點，且D、E均為AB的三等分點，試求tanA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由AB為圓O切線，得到OC垂直于AB，又OA=OB，根據等腰三角形的“三線合一”得到AC等于BC都等于AB的一半，由AB的長，求出AC與BC的長，再由直徑的長，求出半徑OC的長，在直角三角形AOC中，由AC和OC的長，利用勾股定理求出OA的長即可；
（2）過O作OF垂直于AB，由OA=OB，根據等腰三角形的“三線合一”得到AF=BF，又根據垂徑定理得到DF=EF，再根據D與E為AB的三等分點，由AB的長求出AD與DE的長，進而求出DF的長，利用切割線定理得到AD•AE=AH•AG，由AH=AO-r，AG=AO+r，根據r，AD及AE的長，即可列出關于OA的方程，求出OA²的長，在直角三角形AOF中，根據勾股定理即可求出OF的長，根據正切函數的定義，求出OF與AF的比值即為tanA的值．
解答：解：（1）連接OC，
∵AB與⊙O相切于點C，
∴OC⊥AB
∵OA=OB，
∴AC=CB=12，
∵⊙O的直徑為10，∴OC=5，
在Rt△AOC中，根據勾股定理得：OA==13；

（2）過O作OF⊥AB于F，延長AO交⊙O于G，根據垂徑定理得：DF=EF，
∵OA=OB，
∴AF=BF=12，
∵且D、E均為AB的三等分點，∴AD=DE=EB=2DF=8，
∴DF=4，AF=12，
根據切割線定理得：AH•AG=AD•AE，即（AO-r）（AO+r）=AD•AE
即AO²-5²=8×16，
解得：AO²=153，又AF=12，
在Rt△AOF中，根據勾股定理得：，
∴tanA=．
點評：此題考查了切線的性質，垂徑定理，切割線定理及勾股定理．遇到切線，連接圓心與切點是常常連接的輔助線，構造直角三角形來解決問題．同時要求學生掌握等腰三角形的“三線合一”性質，以及銳角三角形函數的定義．連出相應的輔助線是解本題的關鍵．