Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為(0，2)、(－1，0)、(4，0)．P是線段OC上的一動點(點P與點O、C不重合)，過點P的直線x＝t與AC相交于點Q．設四邊形ABPQ關于直線x＝t的對稱的圖形與△QPC重疊部分的面積為S．

(1)點B關于直線x＝t的對稱點B′的坐標為________；

(2)求S與t的函數(shù)關系式．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據(jù)點B和B′關于x＝t對稱，則設B′橫坐標為a，根據(jù)B、的橫坐標之和的一半為對稱軸即可解答； 　　(2)根據(jù)1.5＜t≤4時和0＜t≤1.5時圖形的不同，分兩種情況得出重合圖形的面積表達式，即為S與t的表達式． 　　解答：解：(1)設橫坐標為a， 　　則＝t， 　　解得a＝2t＋1． 　　故點坐標為(2t＋1，0)． 　　(2)①如圖，當1.5＜t≤4時，重合部分為三角形， 　　∵△CPQ∽△COA， 　　∵＝， 　　即＝， 　　則PQ＝． 　　于是S△QPC＝(4－t)＝(1.5＜t≤4)， 　�、谌鐖D，0＜t≤1.5時，重合部分為四邊形， 　　∵A點坐標為(0，2)， 　　∴點坐標為(2t，2)， 　　又∵點坐標為(2t＋1，0)， 　　設直線解析式為y＝kx＋b，則將(2t，2)， 　　和(2t＋1，0)分別代入解析式得，， 　　解得k＝－2，b＝2＋4t． 　　解析式為y＝－2x＋(2＋4t)， 　　設直線AC解析式為y＝mx＋n，將A(0，2)，C(4，0)分別代入解析式得，， 　　解得4m＋2＝0，m＝－． 　　解析式為y＝－x＋2． 　　將y＝－x＋2和y＝－x＋(2＋4t)組成方程組得， 　　解得， 　　D點坐標為(8t，－4t＋2)． 　　由于坐標為(2t＋1，0)，C點坐標為(4，0)， 　　故C＝4－(2t＋1)＝3－2t， 　　S△QPC＝(4－t)＝， 　　S四邊形QPB′D＝S△QPC－S△DB′C＝－(3－2t)(－4t＋2)＝－t2＋6t＋1(0＜t≤1.5)． 　　點評：此題以動點問題的形式考查了相似三角形的性質及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，要充分結合圖形特征，找到圖中的重合部分，并根據(jù)不同情況進行解答．

提示：

考點：相似三角形的判定與性質；坐標與圖形變化－對稱；解直角三角形．