Question

2．已知函數(shù)y₁=$\frac{2}{3}$x+2的圖象分別與坐標(biāo)軸相交于A，B兩點(diǎn)（如圖所示），與反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象相交于C點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）作CD⊥x軸，垂足為D，如果OB是△ACD的中位線，求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的關(guān)系式；
（3）根據(jù)圖象（x＞0）直接寫(xiě)出y₁＞y₂時(shí)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別令一次函數(shù)解析式中x=0、y=0求出y、x的值，從而得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）由A、B點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合中位線的性質(zhì)，找出線段OD、DC的長(zhǎng)度，從而找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)的系數(shù)k，從而得出結(jié)論；
（3）觀察函數(shù)圖象，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令一次函數(shù)y₁=$\frac{2}{3}$x+2中x=0，則y=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）；
令一次函數(shù)y₁=$\frac{2}{3}$x+2中y=0，則$\frac{2}{3}$x+2=0，
解得：x=-3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）．
（2）∵OB是△ACD的中位線，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{OB}{DC}$，
∵點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（0，2），
∴AD=6，DC=4，OD=AD-AO=6-3=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）．
又∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=3×4=12，
∴反比例函數(shù)解析式為y₂=$\frac{12}{x}$（x＞0）．
（3）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)x＞3時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
∴不等式y(tǒng)₁＞y₂時(shí)的取值范圍為x＞3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）分別代入x=0、y=0求B、A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解決不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出反比例系數(shù)k是關(guān)鍵．