Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AB=10cm，動弦CD=6cm，動弦CD始終與AB相交，問當(dāng)CD弦在⊙O上滑動時，A、B到直線CD距離之差的絕對值是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，予以證明并求其值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),垂徑定理

專題：

分析：設(shè)AB與CD交于H，作OM⊥CD于M，AF⊥CD于F，易得OM，MC，MD的長度，再由△AFH∽△OMH∽△BEH，得出比例式，化簡兩式相減求解即可．

解答：解：如圖，設(shè)AB與CD交于H，作OM⊥CD于M，AF⊥CD于F，

∵CD=6cm，
∴MC=MD=3，
∵AB=10cm，
∴OM=4，
∵△AFH∽△OMH∽△BEH，
∴

AF

OM

=

AH

HO

=

5-OH

OH

，
∴

AF

4

=

5-OH

OH

，①
∴

EB

OM

=

HB

OH

=

5+OH

OH

，即

BE

4

=

5+OH

OH

，②
①-②得到

AF-BE

4

=-2，
∴|AF-BE|=2，
∴當(dāng)CD弦在⊙O上滑動時，A、B到直線CD距離之差的絕對值不發(fā)生變化．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及垂徑定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用三角形相似列出比例式求解．