Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝30°，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交AB延長(zhǎng)線于D，CD＝3cm，

（1）求⊙O的直徑。
（2）若動(dòng)點(diǎn)M以3cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)。同時(shí)點(diǎn)N以1.5cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(0≤t≤2)，連結(jié)MN，當(dāng)t為何值時(shí)△BMN為Rt△？并求此時(shí)該三角形的面積？

Answer 1

（1）6cm
（2）（cm²）

解析（1）解：∵AB是⊙O的直徑.
∴∠ACB＝90°  ……………………（0.5＇）
又∠A＝30°
∴∠ABC＝60° ………………………（1＇）
連接OC，因CD切⊙O于C，則∠OCD＝90°  …………（2＇）
在△OBC中
∵OB＝OC，∠ABC＝60°
∴∠OCB＝60°
∴∠BCD＝30°      …………………………………（2.5＇）
又∠OBC＝∠BCD＋∠D
∴∠D＝30° …………………………………………（3＇）
∴AC＝CD＝3 …………………………………（3.5＇）
在Rt△ABC中，cosA＝
∴AB＝＝＝6（cm）……………………（5＇）
（2）△BMN中，①當(dāng)∠BNM＝90°時(shí)，cos∠MBC＝

即cos60°＝           ∴t＝1     ………（6＇）
此時(shí)BM＝3   BN＝1.5   MN＝＝   ……（7＇）
∴S△_BMN＝BN·MN＝ （cm²）    …………………（8＇）
②當(dāng)∠NMB＝90°時(shí)，cos∠MBC＝

即cos60°＝       ∴ t＝1.6    ………………（9＇）
此時(shí)BM＝ BN＝  MN＝＝  （10＇）
∴S△_BMN＝ BM·MN＝××＝（cm²） ………………（11＇）