Question

19．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，EF⊥CD于點(diǎn)F，求證：S_梯形ABCD=EF•CD．

Answer 1

分析 作延長(zhǎng)DE交CD延長(zhǎng)線上點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥FE，交FE的延長(zhǎng)線上于點(diǎn)H，然后將梯形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為梯形HGFC的面積，即可求解．

解答 解：延長(zhǎng)DE交CB延長(zhǎng)線上點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥FE，交FE的延長(zhǎng)線上于點(diǎn)H，
∵AD∥BC，E是AB中點(diǎn)，
∴∠A=∠EBG，AE=BE，
在△AED和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EBG}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\\{∠AED=∠BEG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BGE（ASA），
∴GE=ED，即點(diǎn)E是GD的中點(diǎn)，
∵∠H=∠DFH=90°，
∴CD∥HG，
同理：△GHE≌△DFE，
∴GH=DF，HE=EF，
∴GH+CF=CF+DF=CD，
∴梯形ABCD與梯形HGFC的面積相等，
∵S_梯形HGFC=$\frac{1}{2}$（GH+CF）•HF=$\frac{1}{2}$×CD×2EF=EF•CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；本題通過作輔助線，把梯形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為梯形HGFC的面積是解決問題的關(guān)鍵．