Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，且AC平分∠BAD．
（1）求證：BC=CD；
（2）若AB=4，BC=CD=1，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）由于∠ACB=∠ADB=90°，所以A、B、C、D四點共圓，由于∠DAC=∠BAC，由于圓周角定理可知BC=CD
（2）設AB的中點為O，由（1）可知：A、B、C、D四點共圓，由圓周角定理可知：AB該圓的直徑，所以O為圓心，利用勾股定理可求出BE的長度，然后再利用垂徑定理求出BD的長度，最后再利用勾股定理即可求出AD的長度．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴A、B、C、D四點共圓，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC
∴由圓周角定理可知：CD=BC，
（2）設AB的中點為O，連接OC交BD于點E，
由（1）可知：A、B、C、D四點共圓，
由圓周角定理可知：AB該圓的直徑，所以O為圓心，
∴OC為半徑，
∴OC=2，
又∵BC=CD，
∴由垂徑定理可知：OC⊥BD，
設CE=x，
∴OE=2-x，
由勾股定理可知：2²-（2-x）²=1²-x²，
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴BE²=1-$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{16}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴由垂徑定理可知：BD=2BE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴在Rt△ABD中，
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{\sqrt{15}}{2}）^{2}}$=$\frac{7}{2}$

點評 本題考查圓的綜合問題，解題的關鍵是證明A、B、C、D四點共圓，然后利用垂徑定理和勾股定理求出BE的長度，本題屬于中等題型．