Question

1．已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于A（0，-4），與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B（-2，0）、C（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)M在y軸上，且∠BMO+∠OAB=∠ACB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線y=ax²+bx+c向右平移n（n＞0）個(gè)單位得到的新拋物線與x軸交于M、N（M在N左側(cè)），P為x軸下方的新拋物線上任意一點(diǎn)，連PM、PN，過(guò)P作PQ⊥MN于Q，$\frac{PQ}{MQ}$+$\frac{PQ}{NQ}$是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把（0，-4）代入求出a即可．
（2）如圖1中，在y軸上取點(diǎn)D（0，-2），M（0，-6）．連接BD、BM．由△BDA∽△MDB，推出∠BAO+∠BMO=45°，即點(diǎn)M滿足條件，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)M′即可．
（3）如圖2中，結(jié)論：$\frac{PQ}{MQ}$+$\frac{PQ}{NQ}$是定值，定值為3．拋物線y=ax²+bx+c向右平移n（n＞0）個(gè)單位得到的新拋物線與x軸交于M、N，在平移過(guò)程中，MN=6是定值，不妨把拋物線向左平移，使得頂點(diǎn)在y軸上，如圖3中拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{9}{2}$，OM=ON=3，設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{9}{2}$），則MQ=3+m，NQ=3-m，代入式子化簡(jiǎn)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）由題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把（0，-4）代入得到a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4）=$\frac{1}{2}$x²-x-4．

（2）如圖1中，在y軸上取點(diǎn)D（0，-2），M（0，-6）．連接BD、BM．

∵B（-2，0），A（0，-4），
∴BD=2$\sqrt{2}$，DA=2，DM=4，
∴$\frac{BD}{DM}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{DA}{BD}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{BD}{DM}$=$\frac{DA}{BD}$，∵∠BDA=∠MDB，
∴△BDA∽△MDB，
∴∠DBA=∠BMD，
∵OB=OD，∠BOD=90°，
∴∠BDO=45°，
∵∠BDO=∠DBA+∠BAD，
∴∠BAO+∠BMO=45°，
∵∠BMO+∠OAB=∠ACB=45°，
∴點(diǎn)M滿足條件，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，也滿足條件，
∴滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-6）或（0，6）．

（3）如圖2中，結(jié)論：$\frac{PQ}{MQ}$+$\frac{PQ}{NQ}$是定值，定值為3．

理由：拋物線y=ax²+bx+c向右平移n（n＞0）個(gè)單位得到的新拋物線與x軸交于M、N，
在平移過(guò)程中，MN=6是定值，不妨把拋物線向左平移，使得頂點(diǎn)在y軸上．如圖3中，
∵圖3中的拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{9}{2}$，OM=ON=3，設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{9}{2}$），則MQ=3+m，NQ=3-m，
∴$\frac{PQ}{MQ}$+$\frac{PQ}{NQ}$=PQ•（$\frac{1}{MQ}$+$\frac{1}{NQ}$）=（$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$m²）•（$\frac{1}{m+3}$+$\frac{1}{3-m}$）=$\frac{1}{2}$（9-m²）•$\frac{6}{9-{m}^{2}}$=3．
∴$\frac{PQ}{MQ}$+$\frac{PQ}{NQ}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、定值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，第三個(gè)問(wèn)題解題的關(guān)鍵是把圖形特殊化，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．