Question

如圖，已知雙曲線y=﹣與兩直線y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分別相交于A、B、C、D四點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，1）時(shí)，A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（　 　，　 　），B（ 　，　　），D（　 　，　 　）．

（2）證明：以點(diǎn)A、D、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

（3）當(dāng)k為何值時(shí)，▱ADBC是矩形．

Answer 1

 

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題；兩點(diǎn)間的距離公式；一次函數(shù)的應(yīng)用；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的判定． 

專題： 綜合題．

分析： （1）由C坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的中心對稱性確定出D坐標(biāo)，聯(lián)立雙曲線y=﹣與直線y=﹣x，求出A與B坐標(biāo)即可；

（2）由反比例函數(shù)為中心對稱圖形，利用中心對稱性質(zhì)得到OA=OB，OC=OD，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形即可得證；

（3）由A與B坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AB的長，聯(lián)立雙曲線y=﹣與直線y=﹣kx，表示出CD的長，根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形，得到AB=CD，即可求出此時(shí)k的值．

解答： 解：（1）∵C（﹣1，1），C，D為雙曲線y=﹣與直線y=﹣kx的兩個(gè)交點(diǎn)，且雙曲線y=﹣為中心對稱圖形，

∴D（1，﹣1），

聯(lián)立得：，

消去y得：﹣x=﹣，即x²=4，

解得：x=2或x=﹣2，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣；當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=，

∴A（﹣2，），B（2，﹣）；

故答案為：﹣2，，2，﹣，1，﹣1；

 

（2）∵雙曲線y=﹣為中心對稱圖形，且雙曲線y=﹣與兩直線y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分別相交于A、B、C、D四點(diǎn)，

∴OA=OB，OC=OD，

則以點(diǎn)A、D、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

 

（3）若▱ADBC是矩形，可得AB=CD，

聯(lián)立得：，

消去y得：﹣=﹣kx，即x²=，

解得：x=或x=﹣，

當(dāng)x=時(shí)，y=﹣；當(dāng)x=﹣時(shí)，y=，

∴C（﹣，），D（，﹣），

∴CD==AB==，

整理得：（4k﹣1）（k﹣4）=0，

k₁=，k₂=4，

又∵k≠，∴k=4，

則當(dāng)k=4時(shí)，▱ADBC是矩形．

點(diǎn)評： 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，平行四邊形，矩形的判定，兩點(diǎn)間的距離公式，以及中心圖形性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．