Question

已知拋物線y=x²+（k-2）x+1的頂點(diǎn)為M，與x軸交于A（a，0）、B（b，0）兩點(diǎn)，且k²-（a²+ka+1）•（b²+kb+1）=0，
（1）求k的值；
（2）問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn)N，使△ABN的面積為4

3

？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專(zhuān)題：

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得（a²+ka+1）、（b²+kb+1）的值，由根與系數(shù)的關(guān)系求得ab=1．所以將其代入k²-（a²+ka+1）•（b²+kb+1）=0來(lái)求k的值；
（2）利用三角形的面積公式得到N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后將其代入函數(shù)解析式來(lái)求其橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+（k-2）x+1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴（k-2）²-4＞0，
∴k＞4或k＜0．
∵A（a，0）、B（b，0）在拋物線y=x²+（k-2）x+1上，
∴a²+（k-2）a+1=0，b²+（k-2）b+1=0，ab=1，
∴a²+ka+1=2a，b²+kb+1=2b，
∴由k²-（a²+ka+1）•（b²+kb+1）=0知，k²-4ab=k²-4=0，
解得 k=-2（舍去正值），即k的值是-2；

（2）存在．理由如下：
由（1）知，k=-2，則該拋物線的解析式為：y=x²-4x+1．
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，h）．
∵A（a，0）、B（b，0）在拋物線y=x²+（k-2）x+1上，
∴a+b=4，ab=1，
∴|a-b|=

(a+b)2-4ab

=

16-4

=2

3

，
即AB=2

3

．
∵△ABN的面積為4

3

，
∴

1

2

AB×|h|=4

3

．即

1

2

×2

3

×|h|=4

3

．
解得|h|=4．
則x²-4x+1=4，
解得 x₁=2+

7

，x₂=2-

7

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2+

7

，4），（2-

7

，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．解題時(shí)利用了根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)．