Question

1．如圖所示，已知在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，交BC于點D．求證：BD＞DC．

Answer 1

分析 過B做BP∥AC，交AD延長線于P，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAC=∠BPD，由角平分線定義得到∠DAC=∠BAD，等量代換得到∠DAC=∠BAD=∠BPD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BP=AB，推出△BDP∽△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BP}{AC}=\frac{BD}{CD}$，等量代換得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：過B做BP∥AC，交AD延長線于P，
∴∠DAC=∠BPD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD，
∴∠DAC=∠BAD=∠BPD，
∴BP=AB，
∵∠BDP=∠ADC，
∴△BDP∽△ADC，
∴$\frac{BP}{AC}=\frac{BD}{CD}$，
∵BP=AB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，
∵AB＞AC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$＞1，
∴BD＞DC．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．