Question

12．如圖，AP，CP分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點P．求證：BP為∠MBN的平分線．

Answer 1

分析 利用角平分線性質(zhì)作垂線得到線段相等，再利用角平分線的逆定理得到所證結果．

解答 證明：過P作三邊AB、AC、BC的垂線段PD、PE、PF，
∵BP是△ABC的外角平分線，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD=PF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），
∵CP是△ABC的外角平分線，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE=PF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），
∴PD=PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴AP為∠MBN的平分線（在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）．

點評 本題考查角平分線性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．