Question

已知：平行四邊形ABCD中，點M為邊CD的中點，點N為邊AB的中點，連接AM、CN，
（1）求證：AM∥CN．
（2）過點B作BH⊥AM，垂足為H，聯(lián)結(jié)CH，求證：△BCH是等腰三角形．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵點M為邊CD的中點，點N為邊AB的中點，
∴CM=CD，AN=AB，
∴CM=AN，
∴四邊形ANCM是平行四邊形，
∴AM∥CN；

（2）設(shè)BH與CN交于點E，
∵AM∥CN，BH⊥AM，
∴BH⊥CN，
∵N是AB的中點，
∴EN是△BAH的中位線，
∴BE=EH，
∴CH=CB，
∴△BCH是等腰三角形．
分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB∥CD，AB=CD，又由點M為邊CD的中點，點N為邊AB的中點，即可得CM=AN，繼而可判定四邊形ANCM是平行四邊形，則可證得AM∥CN．
（2）由AM∥CN，BH⊥AM，點N為邊AB的中點，可證得BH⊥CN，ME是△BAH的中位線，則可得CN是BH的垂直平分線，繼而證得：△BCH是等腰三角形．
點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．