Question

如圖，直線y=x向下平移b個(gè)單位后得直線l，l與函數(shù)（x＞0）相交于點(diǎn)A，與x軸相交于點(diǎn)B，則OA²-OB²=________．

Answer 1

2
分析：利用函數(shù)圖象的平移規(guī)律：“上加下減”，把直線y=x向下平移b個(gè)單位，表示出平移后直線的方程為y=x-b，即為直線l的方程，與反比例函數(shù)聯(lián)立消去y后，得到關(guān)于x的方程，整理后得到x²=bx+，并令直線l方程中y=0，求出x的值，確定出B的坐標(biāo)，得出OB²，設(shè)出A的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出OA²，將表示出的OA²及OB²代入所求的式子中，整理后再將x²=bx+代入，化簡(jiǎn)后即可得到結(jié)果．
解答：從原直線上找一點(diǎn)（1，1），向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度為（1+b，1），
它在新直線上，可設(shè)新直線的解析式為：y=x+b₁，代入得b₁=-b，
∴直線y=x向下平移b個(gè)單位后得直線l：y=x-b，
∴聯(lián)立直線l與反比例解析式，消去y得：x-b=，即x²-bx-=0，
∴x²=bx+，
又直線l與x軸交于點(diǎn)B（b，0），設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x-b），
∴OA²-OB²=x²+（x-b）²-b²=2x²-2bx=2（bx+）-2bx=2．
故答案為：2
點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，設(shè)計(jì)的知識(shí)有：一次函數(shù)的平移規(guī)律，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，其中得出y=x平移后直線l的方程是解本題的關(guān)鍵．