Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，連接AD，交BC于點(diǎn)F．
（1）過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC的延長線于點(diǎn)E，判斷DE是否是⊙O的切線，并說明理由；
（2）若CD=12，AC：AF=3：5，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）DE是⊙O切線，
理由是：連接OD交BC于Q，
∵D為弧BC中點(diǎn)，
∴由垂徑定理得：OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O切線．

（2）解：
連接BD，
∵D為弧BC中點(diǎn)，
∴∠CAF=∠DAB，CD=BD=12，
∵AB是直徑，
∴∠ACF=∠ADB=90°，
∴△ACF∽△ADB，
∴==，
即cos∠BAD=
sin∠BAD=，
即=，
∵BD=12，
∴AB=15，
即⊙O半徑是7.5．
分析：（1）連接OD，根據(jù)垂徑定理求出OD⊥BC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）連接BD，證△ACF∽△ADB，得出=，推出=，即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同圓中相等的弧所對(duì)的圓周角相等、平行線的判定和性質(zhì)、切線的判定、直徑所對(duì)的圓周角等于90°、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)值．