Question

已知∠AOB=30°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，OP=6，P₁與P關(guān)于OB對(duì)稱，P₂與P關(guān)于OA對(duì)稱，則△P₁OP₂的周長(zhǎng)為________；若OA上有一動(dòng)點(diǎn)M，OB上有一動(dòng)點(diǎn)N，則△PMN的最小周長(zhǎng)為________．

Answer 1

18    6
分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定求解；
（2）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小．
解答：（1）∵P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為P₁、P₂，
∴OP=OP₁=OP₂=6，且∠P₁OP₂=2∠AOB=60°，
∴故△OP₁P₂是等邊三角形．
∴△P₁OP₂的周長(zhǎng)=3×6=18；
（2）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD=6．
∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6．
故答案為：18；6．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，同時(shí)考查軸對(duì)稱--最短路線問題，并綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)．注意掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等．