Question

4．如圖①，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧$\widehat{AmB}$上一點(diǎn)．
（1）若∠ACB=45°，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)（不與A、B重合），則∠APB=45°或135°；
（2）如圖②，若點(diǎn)P是弦AB與$\widehat{AmB}$所圍成的弓形區(qū)域（不含弦AB與$\widehat{AmB}$）內(nèi)一點(diǎn)．求證：∠APB＞∠ACB；
（3）請(qǐng)?jiān)趫D③中直接用陰影部分表示出在弦AB與$\widehat{AmB}$所圍成的弓形區(qū)域內(nèi)滿足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的點(diǎn)P所在的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知，存在兩種情況，針對(duì)兩種情況，可以畫出相應(yīng)的圖形，由題目中的信息和同弧所對(duì)的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可以分別求得兩種情況下∠APB的度數(shù)，本題得以解決；
（2）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，可以證明結(jié)論成立，本題得以解決；
（3）根據(jù)題意和第（2）問(wèn)，可以畫出滿足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的點(diǎn)P所在的范圍，本題得以解決．

解答 （1）解：如右圖①所示，
根據(jù)題意可分兩種情況，
第一種情況，當(dāng)點(diǎn)P在P₁時(shí)，
可知，∠AP₁B=∠ACB=45°；
第二種情況，當(dāng)點(diǎn)P在P₂時(shí)，
∵四邊形ACBP₂是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠AP₂B+∠ACB=180°，
∵∠ACB=45°，
∴∠AP₂B=135°，
故答案為：45°或135°；                
（2）證明：如下圖②所示，延長(zhǎng)AP交⊙O于點(diǎn)Q，連接BQ．
則∠PQB=∠ACB，
∵∠APB為△PQB的一個(gè)外角，
∴∠APB＞∠PQB，
即∠APB＞∠ACB；    
（3）點(diǎn)P所在的范圍如下圖③所示，

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題、同弧所對(duì)的圓周角的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角的關(guān)系、三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問(wèn)題．