Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點(diǎn)D在y軸上.直線CB的表達(dá)式為，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（－4，0），（0，4）. 動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在AB邊上勻速運(yùn)動(dòng). 動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在折線BCD上勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度. 當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t（秒）時(shí)，△OPQ的面積為S（不能構(gòu)成△OPQ的動(dòng)點(diǎn)除外）.

1.求出點(diǎn)C的坐標(biāo)

2.求S隨t變化的函數(shù)關(guān)系式；

3.當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？并求出這個(gè)最大值

 

Answer 1

【答案】

 

1.把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1.

        ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）.

2.當(dāng)y＝0時(shí)，－x＋＝0，

∴x＝4.∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0）.

過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，則CM＝4，BM＝3.

∴BC＝＝＝5.

∴sin∠ABC＝＝.

①  0＜t＜4時(shí)，過(guò)Q作QN⊥OB于N，

② 

則QN＝BQ·sin∠ABC＝t.

∴S＝OP·QN＝（4－t）×t ＝－t²＋t（0＜t＜4）. ……………2分

②當(dāng)4＜t≤5時(shí)，

連接QO，QP，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥OB于N.

同理可得QN＝t.

∴S＝OP·QN＝×（t－4）×t.

   ＝t²－t（4＜t≤5）. …………………………….3分

③當(dāng)5＜t≤6時(shí)，

連接QO，QP.

S＝×OP×OD＝（t－4）×4.

 ＝2t－8（5＜t≤6）. ……………………………….4分

S隨t變化的函數(shù)關(guān)系式是.

3.①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，

∵－<0

當(dāng)t＝＝2時(shí)，

S_最大＝＝.  ……………………………5分

②當(dāng)4＜t≤5時(shí)， S＝t²－t，對(duì)稱軸為t＝－＝2，

∵>0

∴在4＜t≤5時(shí)，S隨t的增大而增大.

∴當(dāng)t＝5時(shí)，S_最大＝×5²－×5＝2. …………………………..6分

③當(dāng)5＜t≤6時(shí)，

在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S隨t的增大而增大.

∴當(dāng)t＝6時(shí)，S_最大＝2×6－8＝4. …………………………………………7分

∴綜合三種情況，當(dāng)t＝6時(shí)，S取得最大值，最大值是4. ………………………8分

【解析】（1）把y＝4代入直線解析式，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）作垂線構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理和三角函數(shù)、面積的有關(guān)計(jì)算求得函數(shù)解析式，注意t的取值范圍不同，S的解析式就不同。

 （3）根據(jù)（2）中的三種情況，分別求出S的最大值。