Question

如圖，將△AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），∠ABO=60°。
（1）若△AOB的外接圓與y軸交 于點(diǎn)D，求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），試猜想過(guò)D、C的直線與△AOB的外接圓的位置關(guān)系，并加以說(shuō)明；
（3）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和 A且頂點(diǎn)在圓上，求此函數(shù)的解析式。

Answer 1

解：（1）連結(jié)AD， ∵∠ABO=60°， ∴∠ADO=60° 由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）得OA=3， ∵在Rt△ADO中有 cot∠ADO=， ∴OD=OA·cot∠ADO=3·cot60°=3×= ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，）； （2）DC與△AOB的外接圓相切于點(diǎn)D，理由如下： 由（1）得OD=，OA=3， ∴， 又∵C點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，0）， ∴OC=1， ∴，  ∵AC=OA+OC=3+1=4， ∴CD2+AD2=22+（2）2=42=AC2， ∴∠ADC=90°， 即AD⊥DC， 由∠AOD=90°得AD為圓的直徑， ∴DC與△AOB的外接圓相切于點(diǎn)D， （說(shuō)明：也可用解直角三角形或相似三角形等知識(shí)求解） （3）由二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)O（0，0）和A（3，0）， 可設(shè)它的解析式為 y=ax（x-3）（a≠0）， 如圖，作線段OA的中垂線交△AOB的外接圓于E、F兩點(diǎn)，交AD于M點(diǎn)，交OA于N點(diǎn)， 由拋物線的對(duì)稱性及它的頂點(diǎn)在圓上可知，拋物線的頂點(diǎn)就是點(diǎn)E或F， ∵EF垂直平分OA， ∴EF是圓的直徑， 又∵AD是圓的直徑， ∴EF與AD的交點(diǎn)M是圓的圓心， 由（1）、（2）得OA=3，AD=2， ∴AN=OA=，AM=FM=EM=AD=， ∴， ∴FN=FM-MN==，EN=EM+MN=+=， ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（，），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（，-）， 當(dāng)點(diǎn)E為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，有（-3）a=， a=， ∴y=x（x-3）， 即y=x2+2x， 當(dāng)點(diǎn)F為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，有（-3）a=-， a=， ∴y=x（x-3）， 即y=x2x， 故二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x或y=x2x。