Question

11．已知△ABC中，AB=AC，BC=6．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D．
（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AQ交BC于點(diǎn)F，求證：△PDF≌△QDC；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；
（3）如圖③，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，在點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)A移動(dòng)的過(guò)程中，線段DE的長(zhǎng)度是否保持不變？若保持不變，請(qǐng)求出DE的長(zhǎng)度，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定定理ASA進(jìn)行證明；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PF平行與AQ，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠PFB，證出BP=PF，得出PF=CQ，由ASA證明△PFD≌△QCD，得出DF=CD=$\frac{1}{2}$CF，再證出F是BC的中點(diǎn)，即可得出結(jié)果；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，首先證明BE=EF，根據(jù)DF=FC，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∵PF∥AC，
∴∠PFB=∠ACB
∴∠B=∠PFB，
∴BP=FP             
由題意，BP=CQ，
∴FP=CQ
∵PF∥AC，
∴∠DPF=∠DQC．   
又∠PDF=∠QDC，
∴△PFD≌△QCD；

（2）如圖，過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F
∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，
∴F為BC的中點(diǎn)，
∴FC=$\frac{1}{2}$BC=3
由（1）知△PFD≌△QCD，CD=DF
∴CD=DF=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{3}{2}$；

（3）線段DE的長(zhǎng)度保持不變．
如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB=PF
∵PE⊥BC，
∴BE=EF
由（1）知△PFD≌△QCD，CD=DF，
∴DE=EF+DF=$\frac{1}{2}$BC=3．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．