Question

8．如圖矩形ABCD中，AD=1，CD=$\sqrt{3}$，連接AC，將線段AC、AB分別繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AE、AF，線段AE與弧BF交于點G，連接CG，則圖中陰影部分面積為$\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理得到AC=2，由三角函數(shù)的定義得到∠CAB=30°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CAE=∠BAF=90°，求得∠BAG=60°，然后根據(jù)圖形的面積即可得到結(jié)論．

解答 解：在矩形ABCD中，
∵AD=1，CD=$\sqrt{3}$，
∵AC=2，tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAB=30°，
∵線段AC、AB分別繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AE、AF，
∴∠CAE=∠BAF=90°，
∴∠BAG=60°，
∵AG=AB=$\sqrt{3}$，
∴陰影部分面積=S_△ABC+S_扇形ABG-S_△ACG=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1+$\frac{60•π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2=$\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了扇形的面積計算，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．