Question

如圖1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．
（1）探究BM、MN、NC之間的關(guān)系，并說明理由．
（2）若△ABC的邊長為2，求△AMN的周長．

Answer 1

解：（1）MN=BM+NC．理由如下：
延長AC至E，使得CE=BM，連接DE，如圖所示：
∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD與△ECD中，
，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∵∠MDN=∠NDE=60°，
在△DMN與△DEN中，
，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN，又NE=NC+CE，BM=CE，
∴MN=BM+NC；

（2）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC=2，
利用（1）中的結(jié)論得出：BM=CE，MN=EN，
△AMN的周長=AM+MN+AN
=AM+NE+AN=AM+AN+NC+CE=AM+AN+NC+BM
=（AM+BM）+（NC+AN）
=AB+AC=2+2=4．
分析：（1）延長AC至E，使得CE=BM并連接DE，構(gòu)造全等三角形，找到MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，再進(jìn)一步證明△DMN≌△DEN，進(jìn)而得到MN=BM+NC；
（2）利用（1）中結(jié)論，將△AMN的周長轉(zhuǎn)化為AB、AC的和來解答．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；此題從不同角度考查了作相等線段構(gòu)造全等三角形的能力，要充分利用等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)換各相等線段解答．