Question

1．閱讀下列材料：因?yàn)?br />$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$，
$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$，
$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$，
$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}）$，…
所以$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}）$．
解答下列問(wèn)題：
（1）在和式$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…中，第五項(xiàng)為$\frac{1}{9×11}$，第n項(xiàng)為$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
（2）利用上述結(jié)論計(jì)算：
$\frac{1}{x（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+4）}$+$\frac{1}{（x+4）（x+6）}$+…+$\frac{1}{（x+2014）（x+2016）}$．

Answer 1

分析 （1）由已知等式得出第n項(xiàng)為$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，據(jù)此可得；
（2）利用裂項(xiàng)法得出原式=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+4}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+4}$-$\frac{1}{x+6}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+2014}$-$\frac{1}{x+2016}$），進(jìn)一步運(yùn)算可得．

解答 解：（1）∵第1項(xiàng)$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{（2×1-1）（2×1+1）}$，
第2項(xiàng)$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{（2×2-1）（2×2+1）}$，
第3項(xiàng)$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{（2×3-1）（2×3+1）}$，
∴第5項(xiàng)為$\frac{1}{（2×5-1）（2×5+1）}$=$\frac{1}{9×11}$，
第n項(xiàng)為$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
故答案為：$\frac{1}{9×11}$，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$；

（2）原式=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+4}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+4}$-$\frac{1}{x+6}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+2014}$-$\frac{1}{x+2016}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+4}$+$\frac{1}{x+4}$-$\frac{1}{x+6}$+…+$\frac{1}{x+2014}$-$\frac{1}{x+2016}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2016}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{x+2016-x}{x（x+2016）}$
=$\frac{1008}{x（x+2016）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律和分式的化簡(jiǎn)，根據(jù)題意得出第n項(xiàng)為$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$且$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）是解題的關(guān)鍵．