Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是邊BC上的任意一點（P與B、C不重合），作PE⊥AP，交CD于點E．
（1）判斷△ABP與△PCE是否相似，并說明理由；
（2）連接BD，若PE∥BD，試求出此時BP的長．

Answer 1

解：（1）△ABP與△PCE相似．理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE；

（2）由（1）得△ABP∽△PCE，
∴=，即=，
∵PE∥BD，
∴=，即=，
∴=，
∵AB=CD=2，BC=AD=3，
∴BP==．
分析：（1）△ABP與△PCE相似，根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定方法證明即可；
（2）由（1）可知△ABP與△PCE相似，所以=，即=，又因為PE∥BD，=，即=，所以=，利用已知數(shù)據(jù)即可求出BP的長．
點評：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及比例式的性質(zhì)，題目難度中等．