Question

3．如圖，直線y=2x+2與x軸交于點A，與 y軸交于點B，把△AOB沿y軸翻析，點A落到C點，過點B的拋物線y=-x²+bx+c與直線BC交于點D（3，-4）．
（1）求直線BD和拋物線的解析式；
（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點M，作MN垂直于x軸，垂足為點N，使得以M，O，N為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）在直線BD上方的拋物線上有一動點P，過點P作PH垂直于x軸，交直線BD于點H，當(dāng)四邊形B，O，H，P是平行四邊形時，試求動點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線y=2x+2可以求出A，B的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式和直線BD的解析式；
（2）如圖1，2，由（1）的解析式設(shè)M（a，-a²+a+2），當(dāng)△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM時，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
（3）設(shè)P（b，-b²+b+2），H（b，-2b+2）．由平行四邊形的性質(zhì)建立方程求出b的值就可以求出結(jié)論．

解答 解：（1）∵y=2x+2，
∴當(dāng)x=0時，y=2，
∴B（0，2）．
當(dāng)y=0時，x=-1，
∴A（-1，0）．
∵拋物線y=-x²+bx+c過點B（0，2），D（3，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{-4=-9+3b+c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+x+2；
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4=3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為：y=-2x+2；

（2）存在．
如圖1，設(shè)M（a，-a²+a+2）．
∵M(jìn)N垂直于x軸，
∴MN=-a²+a+2，ON=a．
∵y=-2x+2，
∴y=0時，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1．
∵B（0，2），
∴OB=2．
當(dāng)△BOC∽△MNO時，
∴$\frac{BO}{MN}$=$\frac{OC}{ON}$，
∴$\frac{2}{-{a}^{2}+a+2}$=$\frac{1}{a}$，
解得：a₁=1，a₂=-2（舍去）
∴M（1，2）；
如圖2，當(dāng)△BOC∽△ONM時，
$\frac{BO}{ON}$=$\frac{OC}{MN}$，
∴$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{-{a}^{2}+a+2}$，
∴a=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$（舍去），
∴M（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．
∴符合條件的點M的坐標(biāo)為（1，2），（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）；

（3）設(shè)P（b，-b²+b+2），H（b，-2b+2）．
如圖3，∵四邊形BOHP是平行四邊形，
∴BO=PH=2．
∵PH=-b²+b+2+2b-2=-b²+3b．
∴2=-b²+3b
∴b₁=1，b₂=2．
當(dāng)b=1時，P（1，2），
當(dāng)b=2時，P（2，0）
∴P點的坐標(biāo)為（1，2）或（2，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式的運用，相似三角形的性質(zhì)的運用，平行四邊形的性質(zhì)的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．