Question

14．如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點旋轉，這兩個正方形重疊部分的面積為25．

Answer 1

分析 OM交BC于E，OP交CD于F，連結OB、OC，如圖，根據正方形的性質得∠OBC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，∠MOP=90°，OB=OC，則利用等角的余角相等得∠BOE=∠COF，于是可根據“ASA”判斷△BOE≌△COF，
所以S_△BOE=S_△COF，則S_{四邊形OECF}=S_△OBC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=25．

解答 解：OM交BC于E，OP交CD于F，連結OB、OC，如圖，
∵四邊形ABCD和四邊形OMNP為正方形，
∴∠OBC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，∠MOP=90°，OB=OC，
∵∠BOE+∠EOC=90°，∠FOC+∠EOC=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBE=∠OCF}\\{OB=OC}\\{∠BOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF，
∴S_△BOE=S_△COF，
∴S_{四邊形OECF}=S_△OBC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$×10×10=25，
即這兩個正方形重疊部分的面積為25．
故答案為25．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質．