Question

7．在圖1至圖3中，△ABC是等邊三角形，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC．

觀察思考：
（1）當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1，線段AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）；
拓展延伸：
（2）當(dāng)點E不是AB的中點時，如圖2，猜想線段AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”），并說明理由（提示：在圖2中，過點E作EF∥BC交AC于點F，得到圖3）．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AE=BE，∠BCE=30°，再由DE=EC即可得出∠EDC=∠BCE=30°，進而得出BD=BE即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出BE=CF，再判斷出∠BED=∠FCE，即可得出△DBE≌△EFC，結(jié)論得證．

解答 解：（1）∵點E是等邊三角形ABC的邊AB的中點，
∴AE=BE，∠ABC=60°，∠BCE=30°，
∵DE=EC，
∴∠EDC=∠BCE=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°=∠CDE，
∴BD=BE，
∵AE=BE，
∴AE=BD；
故答案為：=

（2）=；
理由：過點E作EF∥BC交AC于點F，
在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，
即BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，
∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∴∠BED=∠FCE，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF，
∴AE=DB．
故答案為：=．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．