Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于點D，且BD=8cm．點M從點A出發(fā)，沿AC的方向勻速運動，速度為2cm/秒；同時直線PQ由點B出發(fā)，沿BA的方向勻速運動，速度為1cm/秒，運動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F．連接PM，設運動時間為t秒（0＜t＜5）．
（1）當t為何值時，四邊形PQCM是平行四邊形？
（2）設四邊形PQCM的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）假設PQCM為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對邊平行，進而得到AP=AM，列出關于t的方程，求出方程的解得到滿足題意t的值；
（2）根據(jù)PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根據(jù)相似三角形的形狀必然相同可知三角形BPQ也為等腰三角形，即BP=PQ=t，再由證得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代數(shù)式就可以表示出BF，進而得到梯形的高PE=DF=8-t，又點M的運動速度和時間可知點M走過的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根據(jù)梯形的面積公式即可得到y(tǒng)與t的關系式．

解答 解：（1）假設四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10-t=2t，
解得t=$\frac{10}{3}$，
∴當t=$\frac{10}{3}$s時，四邊形PQCM是平行四邊形；

（2）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ為等腰三角形，PQ=PB=t，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{BF}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得BF=$\frac{4}{5}$t，
∴FD=BD-BF=8-$\frac{4}{5}$t，
又∵MC=AC-AM=10-2t，
∴y=$\frac{1}{2}$（PQ+MC）•FD=$\frac{1}{2}$（t+10-2t）（8-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{2}{5}$t²-8t+40．

點評 本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，第二問的解題關鍵是根據(jù)相似三角形的高之比等于對應邊之比得出比例，進而求出關系式．