Question

19．如圖，已知線段AB長為6，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，B在y軸正半軸，繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，B點(diǎn)恰好落在x軸上D點(diǎn)處，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)且四邊形ABCD是平行四邊形．

（1）求點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若半徑為1的⊙P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-B-D-C以每秒4個(gè)單位長的速度勻速移動(dòng)，同時(shí)⊙P的半徑以每秒0.4個(gè)單位長的速度增加，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，①t為何值時(shí)，⊙P與y軸相切？
②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在一個(gè)時(shí)刻，⊙P與四邊形ABCD四邊都相切？若存在，說出理由；若不存在，問題中⊙P的半徑以每秒0.4個(gè)單位長速度增加改為多少時(shí)就存在．
（3）若線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，線段AB掃過的面積是多少．

Answer 1

分析 （1）求出OB的長得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出AD的長即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，
（2）①分兩種情況討論：當(dāng)P在AB上時(shí)，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=3-2t，當(dāng)P在BD上時(shí)，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=2t-3，再求解即可，
②設(shè)⊙P的半徑以acm/s的速度增加，當(dāng)點(diǎn)P在菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，與四邊形ABCD都相切，⊙P的半徑1+$\frac{9}{4}$a，再求出BD和AC的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)若⊙P與四邊形ABCD相切，則1+$\frac{9}{4}$a=1.5$\sqrt{3}$，即可得出答案，
（3）過O作OE⊥AB，根據(jù)△BOA∽△OEA，求出OE，從而求出S=$\frac{1}{2}$[（3$\sqrt{3}$）²π-（1.5$\sqrt{3}$）²π]，再計(jì)算即可．

解答 解（1）∵OB=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（6，3$\sqrt{3}$），
∵AD=AB=6，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，0），

（2）①當(dāng)P在AB上時(shí)，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=3-2t，
t=$\frac{4}{5}$，
當(dāng)P在BD上時(shí)，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=2t-3，
t=$\frac{8}{3}$，
②不存在
設(shè)⊙P的半徑以acm/s的速度增加，
當(dāng)點(diǎn)P在菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，到ABCD的距離相等，即與四邊形ABCD都相切，
此時(shí)t=$\frac{9}{4}$，⊙P的半徑1+$\frac{9}{4}$a，
設(shè)BD的解析式為：y=kx+b，AC的解析式為：y=ax+c，
解得：BD的解析式為：y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，AC的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
解得；x=$\frac{3}{2}$，
則y=1.5$\sqrt{3}$，
若⊙P與四邊形ABCD相切，
則1+$\frac{9}{4}$a=1.5$\sqrt{3}$，
解得：a=$\frac{6\sqrt{3}-4}{9}$，
則⊙P的半徑以$\frac{6\sqrt{3}-4}{9}$cm/s的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)就存在，

（3）過O作OE⊥AB，
則△BOA∽△OEA，
$\frac{BO}{OE}$=$\frac{BA}{OA}$，
解得；OE=1.5$\sqrt{3}$，
S=$\frac{1}{2}$[（3$\sqrt{3}$）²π-（1.5$\sqrt{3}$）²π]=$\frac{81}{8}$π，
則線段AB掃過的面積是$\frac{81}{8}$π．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是菱形的性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造相似三角形，注意分類討論．