Question

11．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)，BF⊥EF，AD=1．
（1）求證：BF=EF；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC，垂足為G，請(qǐng)問(wèn)GF的長(zhǎng)度是一個(gè)定值嗎？如果是請(qǐng)求出這個(gè)長(zhǎng)度的值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作FM⊥AD于M，F(xiàn)N⊥AB于N．只要證明△FME≌△FNB即可．
（2）如圖2中，GF的長(zhǎng)度是一個(gè)定值．連接BD交AC于O．首先求出OB的長(zhǎng)，再證明△EGF≌△FOB，即可推出FG=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 （1）證明：如圖1中，作FM⊥AD于M，F(xiàn)N⊥AB于N．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CAD=∠CAB=45°，
∴FN=FM，
∵∠FMA=∠MAN=∠FNA=90°，
∴∠MFN=∠EFB=90°，
∴∠MFE=∠NFB，
在△FME和△FNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FME=∠FNB}\\{FM=FN}\\{∠MEE=∠NFB}\end{array}\right.$，
∴△FME≌△FNB，
∴EF=FB．

（2）如圖2中，GF的長(zhǎng)度是一個(gè)定值．

理由：連接BD交AC于O．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC⊥BD，
∴∠EFB=∠BOF=∠EGF=90°，
∵∠EFG+∠FEG=90°，∠EFG+∠BFO=90°，
∴∠FEO=∠BFO，
在△EGF和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGF=∠FOB}\\{∠FEG=∠BFO}\\{EF=FB}\end{array}\right.$，
∴△EGF≌△FOB，
∴FG=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴FG的長(zhǎng)度是定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．