Question

已知等邊△ABC，邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E從A出發(fā)，沿AC的方向在直線AC上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)E的速度為每秒2個(gè)單位，它們同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止．以點(diǎn)E為圓心，DE長(zhǎng)為半徑作圓．設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(l)如圖l，判斷⊙E與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2，當(dāng)⊙E與BC切于點(diǎn)F時(shí)，求t的值；

(3)以點(diǎn)C為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作⊙C，OC與射線AC交于點(diǎn)G．當(dāng)⊙C與⊙E相切時(shí)，直接寫出t的值為____

 

Answer 1

【答案】

（1）AB與⊙E相切；（2）1；（3），

【解析】

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=60°，在Rt△ADM中即可表示出AM、DM的長(zhǎng)，由AE=2t可得ME=t，在Rt△DME中，DE=AM+EM=3t，在Rt△ADE中，可得AD+DE=AE，即可得到∠ADE=90°，從而證得結(jié)論；

（2）連BE、EF，根據(jù)切線的性質(zhì)可得BE平分∠ABC，由AB=BC可得AE=CE，即可求得結(jié)果；

（3）當(dāng)⊙C與⊙E相切時(shí)，DE=EG=2EC，分點(diǎn)E在線段AC上與點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上兩種情況分析即可.

（1）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M

∵△ABC為等邊三角形

∴∠A=60°  

在Rt△ADM中，AD=t，∠A=60°

∴AM=t，DM=t

∵AE=2t

∴ME=t

在Rt△DME中，DE=AM+EM=3t

在Rt△ADE中，AD=t，AE=4t，DE=3t

∴AD+DE=AE 

∴∠ADE=90°

∴AD與⊙D相切；

（2）連BE、EF，

∵BD、BE與⊙O相切

∴BE平分∠ABC

∵AB=BC

∴AE=CE 

∵AC=4 

∴AE=2，t=1；

（3）當(dāng)⊙C與⊙E相切時(shí)，DE=EG=2EC

∵DE=t，

∴EC=t，

有兩種情形：

第一，當(dāng)E在線段AC上時(shí)，AC=AE+EC，2t+t=4，t=

第二、當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AC=AE-EC，2t-t=4，t=.

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑之差，兩圓外切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑之和.