Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的邊OA在x軸上，點(diǎn)B在第一象限，∠BAO=45°，AB=8$\sqrt{2}$，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（14，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若D為線段OB的中點(diǎn)，E為y軸上一點(diǎn)，直線DE交AB于C，交x軸于點(diǎn)F，其中OE=$\frac{14}{5}$，連接AD，求直線DE的解析式及四邊形OACD的面積；
（3）若點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形是以AD為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作BI⊥OA于I．設(shè)OI=x，在Rt△ABI中，根據(jù)AB²=AI²+BI²，列出方程即可解決問題．
（2）先求出直線DE、AB的解析式，利用方程組求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)S_{四邊形OACD}=S_△ACF-S_△ODF計(jì)算即可．
（3）如圖2中，分四種情形①當(dāng)△DAP₁是等腰直角三角形時(shí)，作P₁M⊥x軸于M，DN⊥OA于N，由△ADN≌△P₁AM得到，AM=DN=4，P₁M=AN=11，即可推出P₁坐標(biāo)．②當(dāng)△ADP₂是等腰直角三角形時(shí)．③當(dāng)△ADP₃是等腰直角三角形時(shí)．④當(dāng)△ADP₄是等腰直角三角形時(shí)，分別求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，作BI⊥OA于I．設(shè)OI=x，
∵∠BAO=45°，∠BIA=90°，A（14，0）
∴∠IAB=∠IBA=45°，
∴AI=BI=14-x，
在Rt△ABI中，∵AB²=AI²+BI²，
∴（8$\sqrt{2}$）²=（14-x）²+（14-x）²，
解得x=6或22（舍棄），
∴B（6，8）．

（2）如圖1中，∵B（6，8），OD=DB，
∴D（ 3，4），∵E（0，$\frac{14}{5}$），
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b則有 $\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{14}{5}}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{5}}\\{b=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=$\frac{2}{5}$x+$\frac{14}{5}$，同法可得直線AB的解析式為y=-x+14，
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{5}x+\frac{14}{5}}\\{y=-x+14}\end{array}\right.$解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴交點(diǎn)C坐標(biāo)（8.6），F(xiàn)（-7，0），
∴S_{四邊形OACD}=S_△ACF-S_△ODF=$\frac{1}{2}$×21×6-$\frac{1}{2}$×7×4=49．

（3）如圖2中，
當(dāng)△DAP₁是等腰直角三角形時(shí)，作P₁M⊥x軸于M，DN⊥OA于N．
∵D（ 3，4），A（17，0），
∴DN=4，AN=11，
由△ADN≌△P₁AM得到，AM=DN=4，P₁M=AN=11，
∴P₁（18，11），
當(dāng)△ADP₂是等腰直角三角形時(shí)，
∵P₁與P₂關(guān)于點(diǎn)A對稱，A（14，0），
∴P₂（10，-11），
當(dāng)△ADP₃是等腰直角三角形時(shí)，
P₃可以可知P₁向上平移4個(gè)單位，向左平移 11個(gè)單位得到，
∴P₃（7，15），
當(dāng)△ADP₄是等腰直角三角形時(shí)，
P₄可以可知P₂向上平移4個(gè)單位，向左平移 11個(gè)單位得到，
∴P₄（-1，-7）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（18，11）或（10，-11）或（7，15）或（-1，-7）．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)綜合題、四邊形面積問題、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．