Question

如圖，已知點A，點B在第一，三象限的角平分線上，P為直線AB上的一點，PA=PB，AM、BN分別垂直與x軸、y軸，連接PM、PN．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，P、A、B在第三象限，猜想PM，PN之間的關(guān)系，并說明理由；
（3）點P、A在第三象限，點B在第一象限，如圖2其他條件不變，（2）中的結(jié)論還成立嗎，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,角平分線的定義,全等三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；
（2）求出OQ=AQ，OM=OQ，OE=OF，PE=PF，證△MEP≌△NFP，推出PM=PN，∠EPM=∠NPF，求出∠EPF=90°，即可求出∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠EPF=90°；
（3）延長BN交AM于E，連接EP，求出ME=ON=BN，∠AEB=90°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出∠MEP=∠NBP=45°，EP=PB，∠EPB=90°，證△EMP≌△BNP，推出PM=PN，∠EPM=∠NPB，求出∠MPN=∠EPB=90°，即可得出答案．

解答：解：（1）∵點A，點B在第一，三象限的角平分線上，
∴直線AB的解析式是y=x；

（2）PM=PN且PM⊥PN，
理由是：過P作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F，過A作AQ⊥y軸于Q，
∵A在第一、三象限的角平分線上，PM⊥x軸于M，
∴AM=AQ，∠AMO=90°，∠MOA=45°，
∴∠MAO=∠MOA=45°，
∴OM=AM，
同理OQ=AQ，
∴OM=OQ，
同理OE=OF，PE=PF，
在△MEP和△NFP中

ME=NF ∠MEP=∠NFP=90° PE=PF

∴△MEP≌△NFP（SAS），
∴PM=PN，∠EPM=∠NPF，
∵PE⊥x軸，PF⊥y軸，x軸⊥y軸，
∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠FPN+∠EPN=∠EPF=90°，
即PM⊥PN；

（3）成立；

證明：延長BN交AM于E，連接EP，
∵A、B在第一、三象限角的角平分線上，
∴∠MOA=∠BON=45°，
∵∠BNO=∠AMO=90°，
∴∠NBO=∠EAO=∠NOB=45°，
∴AE=BE，BN=ON，
∵∠ENO=∠NOM=∠EMO=90°，
∴四邊形EMON是矩形，
∴ME=ON=BN，∠AEB=90°，
∵P為AB中點，AE=BE，
∴∠MEP=∠NBP=45°，EP=PB，∠EPB=90°，
在△EMP和△BNP中

EP=BP ∠MEP=∠NBP EM=BN

∴△EMP≌△BNP（SAS），
∴PM=PN，∠EPM=∠NPB，
∵∠EPB=90°，
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠BPN+∠EPN=∠EPB=90°，
即PM⊥PN．

點評：本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強，有一定的難度．