Question

設數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a₂=1，a_n=7a_n-1-a_n-2，n≥3．證明：對于每個n∈N^*，a_n+a_n+1+2皆為完全平方數(shù)．

Answer 1

考點：完全平方數(shù)

專題：

分析：首先易求得數(shù)列開初的一些項為：1，1，6，41，281，1926，…，注意到，a1+a2+2=22，a2+a3+2=32，a3+a4+2=72，a4+a5+2=182，…，則構作數(shù)列{x_n}：x₁=2，x₂=3，x_n=3x_n-1-x_n-2，n≥3，則對每個n∈N^*，x_n為正整數(shù)，首先證明則f(k)-f(k-1)=(xkxk+2-

x

2 k+1

)-(xk-1xk+1-

x

2 k

)=3x_kx_k+1-3x_k+1x_k=0，進而得出a_n+1+a_n+2+2=（7a_n-a_n-1）+（7a_n+1-a_n）+2=7（a_n+a_n+1+2）-（a_n-1+a_n+2）-10=7

x

2 n

-

x

2 n-1

-10=

x

2 n+1

即可得出答案．

解答：證明：易求得數(shù)列開初的一些項為：1，1，6，41，281，1926，…，
注意到，a1+a2+2=22，a2+a3+2=32，a3+a4+2=72，a4+a5+2=182，…，
構作數(shù)列{x_n}：x₁=2，x₂=3，x_n=3x_n-1-x_n-2，n≥3，則對每個n∈N^*，x_n為正整數(shù)．
我們來證明：對于每個n∈N^*，皆有：an+an+1+2=

x

2 n

．
引理：數(shù)列{x_n}滿足：對于每個k∈N^*，xkxk+2-

x

2 k+1

=5．
引理證明：令f(k)=xkxk+2-

x

2 k+1

，
則f(k)-f(k-1)=(xkxk+2-

x

2 k+1

)-(xk-1xk+1-

x

2 k

)
=(xkxk+2+

x

2 k

)-(

x

2 k+1

+xk-1xk+1)
=x_k（x_k+2+x_k）-x_k+1（x_k+1+x_k-1）
=3x_kx_k+1-3x_k+1x_k=0．
所以f（k）=f（k-1），于是f(k)=f(k-1)=f(k-2)=…=f(1)=x1x3-

x

2 2

=5．
回到本題，對n歸納，據(jù)數(shù)列{a_n}的定義，a1+a2+2=4=

x

2 1

， a2+a3+2=9=

x

2 2

，
若結論直至n（n≥2）皆已成立，則對于n+1，
有a_n+1+a_n+2+2=（7a_n-a_n-1）+（7a_n+1-a_n）+2
=7（a_n+a_n+1+2）-（a_n-1+a_n+2）-10
=7

x

2 n

-

x

2 n-1

-10
=(3xn)2-

x

2 n-1

-2

x

2 n

-10
=(3xn-xn-1)(3xn+xn-1)-2

x

2 n

-10
=xn+1(xn+1+2xn-1)-2

x

2 n

-10
=

x

2 n+1

+2(xn-1xn+1-

x

2 n

-5)
=

x

2 n+1

．
即在n+1時結論也成立．
故本題得證．

點評：此題主要考查了完全平方數(shù)，首先證明an+an+1+2=

x

2 n

，進而得出a_n+1+a_n+2+2=

x

2 n+1

是解題關鍵．