Question

如圖，在?ABCD中，∠A=60°，∠ABD、∠ADB、∠CDB的平分線分別為BF、DE、DG，與?ABCD的邊分別交于點F、E、G．
試說明：（1）DF=BG；
（2）BE+BG=BD．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，AD∥BC，又由∠ABD、∠CDB的平分線分別為BF、DG，易證得∠FBD=∠GDB，即可證得DG∥BF，則可證得四邊形DFBG是平行四邊形，繼而證得結論；
（2）首先在BD截取BM=BE，連接HM，易證得△BEH≌△BMH，繼而證得△DFH≌△DMH，則可證得結論．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD、∠CDB的平分線分別為BF、DG，
∴∠FBD=

1

2

∠ABD，∠GDB=

1

2

∠CDB，
∴∠FBD=∠GDB，
∴DG∥BF，
∴四邊形DFBG是平行四邊形，
∴DF=BG；

（2）在BD截取BM=BE，連接HM，
∵∠A=60°，∠ABD、∠ADB的平分線分別為BF、DE，
∴∠1=∠4=60°，∠BHD=120°，
在△BEH和△BMH中，

BH=BM ∠EBH=∠MBH BE=BM

，
∴△BEH≌△BMH（SAS），
∴∠1=∠2=∠3=∠4=60°，
在△DFH和△DMH中，

∠4=∠3 DH=DH ∠FDH=∠MDH

，
∴△DFH≌△DMH（ASA），
∴DF=DM，
∴BD=BM+DM=BE+DF=BE+BG．

點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．