Question

如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，若∠MAC=∠ABC ．

（1）求證：MN是半圓的切線；

（2）設(shè)D是弧AC的中點，連結(jié)BD交AC 于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．

求證：FD＝FG．

（3）若△DFG的面積為4.5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．

Answer 1

證明（1）：∵AB是直徑

 ∴∠ACB=90º ，∴∠CAB+∠ABC=90º

             ∵∠MAC=∠ABC

             ∴∠MAC+∠CAB=90º，即MA⊥AB

∴MN是半圓的切線．

        （2）證法1：

∵D是弧AC的中點， ∴∠DBC=∠2

∵AB是直徑，∴∠CBG+∠CGB=90º

∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠2=90º

∵∠DBC=∠2，∴∠FDG=∠CGB=∠FGD

∴FD=FG

證法2：連結(jié)AD，則∠1=∠2

∵AB是直徑，∴∠ADB=90º

∴∠1+∠DGF=90º

又∵DE⊥AB  ∴∠2+∠FDG=90º

∴∠FDG=∠FGD， ∴FD=FG

（3）解法1：

 

過點F作FH⊥DG于H，

又∵DF=FG  ∴S_△FGH=S_△DFG=×4.5=

∵AB是直徑，FH⊥DG ∴∠C=∠FHG=90º

∵∠HGF=∠CGB，∴△FGH∽△BGC

∴

∴S_△BCG=

解法2：∵∠ADB=90º，DE⊥AB，∴∠3=∠2

∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3

∴AF=DF=FG

∴S_△ADG=2S_△DFG=9

∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB

∴△ADG∽△BCG

∴

∴S_△BCG=

解法3：連結(jié)AD，過點F作FH⊥DG于H，

∵S_△FDG=DG×FH=×3FH=4．5

∴FH=3

∵H是DG的中點，FH∥AD

∴AD=2FH=6

∴S_△ADG=

（以下與解法2同）