Question

12．己知：一直線經(jīng)過P（-2，4），它與雙曲線y=-$\frac{2}{x}$交于M、N兩點，且M、N兩點關(guān)于原點成中心對稱．
（1）求直線的解析式及M．N兩點的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過M、N兩點，求證：拋物線與x軸一定有兩個不同的交點；
（3）設(shè)拋物線與x軸交于點A、點B（A在B的左邊），與y軸交于點C，連結(jié)AC、BC．
①是否有滿足tan∠CAB=tan∠CBA的拋物線存在？
②己知tan∠CAB+tan∠CBA=3，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)直線為y=kx，代入P（-2，4），根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，聯(lián)立方程，解方程即可求得M、N的坐標；
（2）把點M、N的坐標代入解析式，用a表示b、c，根據(jù)判別式判斷拋物線與x軸的交點情況；
（3）①根據(jù)tan∠CAB=tan∠CBA，得到OA和OB的關(guān)系，進行判斷即可；
②分兩種情況，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于a的方程，解方程求得a，從而求得解析式．

解答 解：（1）∵M、N兩點關(guān)于原點成中心對稱，
∴直線經(jīng)過原點，
∴設(shè)直線為y=kx，
∵經(jīng)過P（-2，4），
∴4=-2k，解得k=-2，
∴y=-2x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴直線解析式為y=-2x，M．N兩點的坐標為（-1，2）和（1，-2）；
（2）把M、N的坐標代入y=ax²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=2}\\{a+b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得c=-a，b=-2，
∴解析式為：y=ax²-2x-a，
△=4+4a²＞0，
∴拋物線一定與x軸有兩個不同的交點；
（2）∵tan∠CAB=tan∠CBA，
∴AC=BC，
∴OA=OB，
x₁+x₂=$\frac{2}{a}$=0，無解，
∴拋物線不存在．
（3）∵tan∠CAB+tan∠CBA=3，
當a＞0時，∵x₁x₂=-a＜0，
∴x₁＜0，x₂＞0，
∵tan∠CAB+tan∠CBA=3，
∴$\frac{a}{-{x}_{1}}$+$\frac{a}{{x}_{2}}$=3，
∴$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=3，
∵x₁x₂=-a，x₁+x₂=$\frac{2}{a}$
∴x₁-x₂=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{4}_{1}x{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{a}）^{2}-4×（-a）}$=$\frac{2}{a}$$\sqrt{1+{a}^{2}}$，
∴$\frac{2\sqrt{1+{a}^{3}}}{-a}$=3，
∴2$\sqrt{1+{a}^{3}}$=-3a＜0，
∴不存在a＞0這種情況；
當a＜0時，∵x₁x₂=-a＞0，x₁+x₂=$\frac{2}{a}$＜0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∵tan∠CAB+tan∠CBA=3，
∴$\frac{a}{{x}_{1}}$+$\frac{a}{{x}_{2}}$=3，
∴$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=3，
∵x₁+x₂=$\frac{2}{a}$，
∴$\frac{2}{a}$=-3，
∴a=-$\frac{2}{3}$；
故拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²-2x+$\frac{2}{3}$．

點評 本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，拋物線與x軸的交點，掌握關(guān)于原點對稱的點的坐標的關(guān)系和根的判別式是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運用．