Question

13．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y=-x-1的圖象的一個交點為A（-2，a）．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）請直接寫出不等式$\frac{k}{x}$＞-x-1的解集；
（3）若一次函數(shù)=-x-1與x軸交于點B，與y軸交于點C，點P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上一點，且S_△BOP=4S_△OBC，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）將x=-2代入一次函數(shù)解析式中求出a的值，根據(jù)點A的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k值，從而得出結(jié)論；
（2）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式成方程組，解方程組求出兩函數(shù)圖象除點A外的另一點坐標，結(jié)合函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系以及兩交點的橫坐標即可得出不等式的解集；
（3）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點B、C的坐標，設(shè)點P的坐標為（m，-$\frac{2}{m}$），根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△BOP=4S_△OBC，即可得出關(guān)于m的方程，解方程即可得出m的值，再將其代入點P的坐標即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點A（-2，a）在一次函數(shù)y=-x-1的圖象上，
∴a=-1×（-2）-1=1，
∴點A（-2，1）．
∵點A（-2，1）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=-2×1=-2，
∴反比例函數(shù)的表達式為y=-$\frac{2}{x}$．
（2）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的另一個交點為（1，-2）．
觀察函數(shù)圖象可知：
當(dāng)-2＜x＜0或x＞1時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，
∴不等式$\frac{k}{x}$＞-x-1的解集為-2＜x＜0或x＞1．
（3）令y=-x-1中x=0，則y=-1，
∴點C（0，-1）；
令y=-x-1中x=0，則-x-1=0，解得：x=-1，
∴點B（-1，0）．
設(shè)點P的坐標為（m，-$\frac{2}{m}$），
∵S_△BOP=4S_△OBC，
∴$\frac{1}{2}$BO•|y_P|=4×$\frac{1}{2}$OB•OC，即|-$\frac{2}{m}$|=4，
解得：m=±$\frac{1}{2}$，
∴點P的坐標為（$\frac{1}{2}$，-4）或（-$\frac{1}{2}$，4）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點A的坐標；（2）求出兩函數(shù)圖象除點A外另一交點的坐標；（3）得出關(guān)于點P縱坐標的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點坐標是解題的關(guān)鍵．