Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點(diǎn)，AC=2，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線DC，P點(diǎn)為優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與A．C重合）．
（1）求∠APC與∠ACD的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到CB弧的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形OBPC是菱形．
（3）P點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，△APC與△ABC全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）連接AC，如圖所示：

∵AB=4，∴OA=OB=OC=AB=2。
又∵AC=2，∴AC=OA=OC�！唷鰽CO為等邊三角形。
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=∠AOC=30°。
又DC與圓O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥DC。∴∠DCO=90°。
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。
（2）連接PB，OP，
∵AB為直徑，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。
當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到弧CB的中點(diǎn)時(shí)，∠COP=∠POB=60°。
∴△COP和△BOP都為等邊三角形�！郃C=CP=OA=OP。
∴四邊形AOPC為菱形。
（3）當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，△ABC與△APC重合，顯然△ABC≌△APC。
當(dāng)點(diǎn)P繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到CP經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，△ABC≌△CPA，理由為：
∵CP與AB都為圓O的直徑，∴∠CAP=∠ACB=90°。
在Rt△ABC與Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)和點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，△ABC≌△CPA。

解析