Question

在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，過D作DF⊥AC，垂足為F，連接BF交⊙O于E，求證：（1）DF是⊙O的切線；（2）BF：AF=FC：EF．

Answer 1

證明：（1）連接AD，DO，
∵AB為直徑作⊙O交BC于D，
∴∠ADB=90°，（直徑所對圓周角等于90°）
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵O為AB中點，D為BC中點，
∴DO∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；

（2）設AC與⊙O交于一點G，
∵AF，F(xiàn)B都為⊙O的割線，
∴FG?FA=FE?FB，
∴

BF

AF

=

FG

EF

，
∵∠ABC=∠DGC，（圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DGC，
∴DG=DC，
∵DF⊥AC，
∴FC=FG，
∴

BF

AF

=

FC

AF

，
即BF：AF=FC：EF．