Question

如圖，?ABCD中，E為CD的中點，AH⊥BC于H，連接HE，∠DEH=3∠EHC．
（1）若∠EHC=55°，求C的度數(shù)；
（2）求證：AB=2AD．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）由∠DEH=3∠EHC，∠DEH=∠EHC+∠C，即可求得答案；
（2）首先取AB的中點為F，連接EF，F(xiàn)H，可證得四邊形BCEF是平行四邊形，△EFH是等腰三角形，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得結論．

解答：（1）解：∵∠EHC=55°，
∴∠DEH=3∠EHC=165°，
∵∠DEH=∠EHC+∠C，
∴∠C=165°-55°=110°；

（2）證明：取AB的中點為F，連接EF，F(xiàn)H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E為CD的中點，
∴EC∥FB，EC=FB，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，
∴EF∥CD，EF=CD=AD，
∴∠FEH=∠EHC，
設∠EHC=x°，則∠FEH=x°，
∵AH⊥BC，
∴∠EHA=90°-∠EHC=90°-x°，
∵∠DEH=3∠EHC=∠EHC+∠C，
∴∠C=2∠EHC=2x°，
∴∠B=180°-∠C=2x°，
∵AF=BF=FH，
∴∠FHB=∠B=180°-2x°，
∴∠AHF=90°-∠FHB=2x°-90°，
∴∠EHF=∠EHA+∠AHF=x°，
∴∠FEH=∠EHF，
∴FH=EF，
∴FH=AD，
∴AB=2FH=2AD．

點評：此題考查了平行四邊形的性質、直角三角形的性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．