Question

如圖（甲），D是△ABC的邊BC的延長線上一點．∠ABC、∠ACD的平分線相交于P₁．

（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，則∠P₁的度數(shù)為

30°

；
（2）若∠A=α，則∠P₁的度數(shù)為

1

2

α

；（用含α的代數(shù)式表示）
（3）如圖（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分線相交于P₁，∠P₁BC、∠P₁CD的平分線相交于P₂，∠P₂BC、∠P₂CD的平分線相交于P₃依此類推，則∠Pn的度數(shù)為

（

1

2

）nα

（用n與α的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：由∠P₁CD=∠P₁+∠P₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而P₁B、P₁C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠P₁CD，∠ABC=2∠P₁BC，于是有∠A=2∠P₁，同理可得∠P₁=2∠P₂，即∠A=2²∠P₂，因此找出規(guī)律．

解答：解：∵P₁B、P₁C分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠P₁CD，∠ABC=2∠P₁BC，
而∠P₁CD=∠P₁+∠P₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠P₁，
∴∠P₁=

1

2

∠A，
（1）∵∠ABC=80°，∠ACB=40°，
∴∠A=60°，
∴∠P₁=30°；
（2）∵∠A=α，
∴∠P₁的度數(shù)為

1

2

α；
（3）同理可得∠P₁=2∠P₂，
即∠A=2²∠P₂，
∴∠A=2ⁿ∠P_n，
∴∠Pn=（

1

2

）nα．
故答案為：30°，

1

2

α，（

1

2

）nα．

點評：本題考查了三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°．也考查了三角形的外角性質以及角平分線性質，難度適中．