Question

某商場計劃采購甲、乙、丙三種型號的“格力”牌空調(diào)共25臺．三種型號的空調(diào)進(jìn)價和售價如下表：

種類 價格	甲	乙	丙
進(jìn)價（元/臺）	1600	1800	2400
售價（元/臺）	1800	2050	2600

商場計劃投入總資金5萬元，所購進(jìn)的甲、丙型號空調(diào)數(shù)量相同，乙型號數(shù)量不超過甲型號數(shù)量的一半．若設(shè)購買甲型號空調(diào)x臺，所有型號空調(diào)全部售出后獲得的總利潤為W元．
（1）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）商場如何采購空調(diào)才能獲得最大利潤？
（3）由于原材料上漲，商場決定將丙型號空調(diào)的售價提高a元（a≥100），其余型號售價不變，則商場又該如何采購才能獲得最大利潤？

Answer 1

解：（1）設(shè)購買甲型號空調(diào)x臺，可得丙型空調(diào)為x臺，乙型空調(diào)（25-2x）臺，
則W=（1800-1600）x+（2050-1800）（25-2x）+（2600-2400）x=6250-100x；
（2）由題意得：0≤25-2x≤x，
解得：10≤x≤12.5，
又∵x為正整數(shù)，得到x=10，11，12，
∵W=6250-100x，
∴k=-100＜0，
∴W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=10時，W有最大值5250元．
∴商場采購甲型號空調(diào)10臺，乙型空調(diào)5臺，丙型空調(diào)為10臺利潤最大；
（3）根據(jù)題意，得
W=（1800-1600）x+（2050-1800）（25-2x）+（2600+a-2400）x
=（a-100）x+6250．
∵a≥100，
∴a-100≥0，
∴W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=12時，W最大．
故商場采購甲型號空調(diào)12臺，乙型空調(diào)1臺，丙型空調(diào)為12臺利潤最大；
分析：（1）設(shè)購買甲型號空調(diào)x臺，可得丙型空調(diào)為x臺，乙型空調(diào)（25-2x）臺，再表示出三種空調(diào)各自的利潤，最后將三種空調(diào)的利潤加起來就是W．
（2）先根據(jù)條件求出x的取值范圍，再根據(jù)（1）的解析式圖象特征確定x的值，就可以確定最大利潤．
（3）把丙型空調(diào)提高后的售價代入（1）的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)特征求出購買方案．
點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，用一次函數(shù)的解析式和性質(zhì)求函數(shù)的最值，在解答中注意自變量的取值范圍和k值的靈活運(yùn)用．