Question

設(shè)方程a²x²+ax+1-7a²=0的兩根都是整數(shù)，求所有正數(shù)a．

Answer 1

分析：根據(jù)根的判別式判斷出

1

a2

的取值，進(jìn)而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判斷a的取值即可．

解答：解：∵方程有根，
∴a²-4a²×（1-7a²）≥0，
-3a²+28a⁴≥0，

1

a2

≤

28

3

，
∴x₁+x₂=-

1

a

；x₁x₂=

1

a2

-7，
∵兩根之和與兩根之積均為整數(shù)，
∴

1

a2

=1，4，9．
又∵-

1

a

為整數(shù)，∴

1

a

=1，2，3，
∴a=1，

1

2

，

1

3

．

點(diǎn)評：考查一元二次方程整數(shù)根的問題；利用根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系判斷a的取值是解決本題的難點(diǎn)．