Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，與軸的交點(diǎn)為．設(shè)的外接圓的圓心為點(diǎn)．

（1）求與軸的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如果恰好為的直徑，且的面積等于，求和的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（0，1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）令x=0，代入拋物線解析式，即求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．由求根公式求得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，得到點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)的和與積，由相交弦定理求得OD的值，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)AB又恰好為⊙P的直徑，由垂徑定理知，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，故得到點(diǎn)C的坐標(biāo)及k的值．根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系式表示出AB線段的長(zhǎng)，由三角形的面積公式表示出△ABC的面積，可求得m的值．

（1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為

由題設(shè)可知是方程即 的兩根，

所以，

所

∵⊙P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，設(shè)它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，連結(jié)DB，

∴△AOC∽△DOC，則

由題意知點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在軸的正半軸上，

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）；

（2）因?yàn)锳B⊥CD， AB又恰好為⊙P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即

又，

所以解得

考點(diǎn)：一元二次方程的求根公式，根與系數(shù)的關(guān)系，相交弦定理，垂徑定理，三角形的面積公式

點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度較大，是中考常見(jiàn)題，如何表示OD及AB的長(zhǎng)是本題中解題的關(guān)鍵．