Question

3．觀察下列方程的特征及其解的特點；
①x+$\frac{2}{x}$=-3的解為x₁=-1，x₂=-2．
②x+$\frac{6}{x}$=-5的解為x₁=-2，x₂=-3．
③x+$\frac{12}{x}$=-7的解為x₁=-3，x₂=-4；
解答下列問題；
（1）請你寫出一個符合上述特征的方程為x+$\frac{20}{x}$=-9，其解為x₁=-4，x₂=-5．
（2）根據這類方程特征，寫出第n個方程為x+$\frac{{n}^{2}+n}{x}$=-2n-1，其解為x₁=-n，x₂=-n-1．
（3）請利用（2）的結論，求關于x的方程x+$\frac{{n}^{2}+n}{x+3}$=-2（n+2）（其中n為正整數）的解．

Answer 1

分析 （1）觀察閱讀材料中的方程解過程，歸納總結得到結果；
（2）仿照方程解方程，歸納總結得到結果；
（3）方程變形后，利用得出的規(guī)律得到結果即可．

解答 解：（1）x+$\frac{20}{x}=-9$，其解為：x₁=-4，x₂=-5，
故答案為：x+$\frac{20}{x}$=-9，x₁=-4，x₂=-5；
（2）x+$\frac{{n}^{2}+n}{x}$=-（2n+1），其解為：x₁=-n，x₂=-n-1，
故答案為：x+$\frac{{n}^{2}+n}{x}$=-（2n+1），x₁=-n，x₂=-n-1；
（3）x+$\frac{{n}^{2}+n}{x+3}$=-2（n+2）
x+3+$\frac{{n}^{2}+n}{x+3}$=-2（n+2）+3
（x+3）+$\frac{{n}^{2}+n}{x+3}$=-（2n+1）
∴x+3=-n或x+3=-（n+1）
即：x₁=-n-3，x₂=-n-4．

點評 此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．