Question

如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的上，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，PH⊥OA，垂足為H，△OPH的重心為G．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段GO、GP、GH中，有無長度保持不變的線段？如果有，請指出這樣的線段，并求出相應(yīng)的長度；
（2）如果△PGH是直角三角形，試求OG：PG：HG的值；
（3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線段PH的長．

Answer 1

解：（1）當(dāng)然是GH不變，
重心是三角形中線交點(diǎn)，它把中線分為1：2的比例，
如果中線長度不變，題中的三線段長度也不變，PO是半徑，
它是直角三角形OPH的斜邊，它的中線等于它的一半；
則GH=（OP）=（ ×6）=2；
（2）延長OG交PH于點(diǎn)K，
∵△PGH為Rt△   FG=1，PF=3，
∴PG=2，
∴PH=，
∴KG=
∴OG=
∴OG：PG：HG=：2：2=：：1；
（3）△PGH是等腰三角形有3種可能性，
①當(dāng)GP=PH時(shí)，PH=，
②當(dāng)GP=GH時(shí)，PH=0（不存在），
③當(dāng)PH=GH時(shí)，PH=2，
∴PH=或PH=2．