Question

如圖，AB是半徑O的直徑，AB＝2．射線AM、BN為半圓O的切線．在AM上取一點(diǎn)D，連接BD交半圓于點(diǎn)C，連接AC．過O點(diǎn)作BC的垂線OE，垂足為點(diǎn)E，與BN相交于點(diǎn)F．過D點(diǎn)作半圓O的切線DP，切點(diǎn)為P，與BN相交于點(diǎn)Q．

(1)求證：△ABC∽△OFB；

(2)當(dāng)△ABD與△BFO的面枳相等時(shí)，求BQ的長；

(3)求證：當(dāng)D在AM上移動(dòng)時(shí)(A點(diǎn)除外)，點(diǎn)Q始終是線段BF的中點(diǎn)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據(jù)OE∥AC，得出∠BAC＝∠FOB，進(jìn)而得出∠BCA＝∠FBO＝90°，從而證明結(jié)論； 　　(2)根據(jù)△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，從而得出DQ∥AB，即可得出BQ＝AD； 　　(3)首先得出AD＝DP，QB＝BQ，進(jìn)而得出DQ2＝QK2＋DK2，得出BF＝2BQ，即可得出Q為BF的中點(diǎn)． 　　解答：證明：(1)∵AB為直徑， 　　∴∠ACB＝90°，即：AC⊥BC， 　　又OE⊥BC， 　　∴OE∥AC， 　　∴∠BAC＝∠FOB， 　　∵BN是半圓的切線， 　　∴∠BCA＝∠FBO＝90°， 　　∴△ACB∽△OBF． 　　解：(2)由△ACB∽△OBF得，∠OFB＝∠DBA，∠DAB＝∠OBF＝90°， 　　∴△ABD∽△BFO， 　　當(dāng)△ABD與△BFO的面積相等時(shí)，△ABD≌△BFO， 　　∴AD＝1， 　　又DPQ是半圓O的切線， 　　∴OP＝1，且OP⊥DP， 　　∴DQ∥AB， 　　∴BQ＝AD＝1， 　　(3)由(2)知，△ABD∽△BFO， 　　∴＝， 　　∴BF＝， 　　∵DPQ是半圓O的切線， 　　∴AD＝DP，QB＝BQ， 　　過Q點(diǎn)作AM的垂線QK，垂足為K，在直角三角形DQK中， 　　DQ2＝QK2＋DK2， 　　∴(AD＋BQ)2＝(AD－BQ)2＋22． 　　∴BQ＝， 　　∴BF＝2BQ， 　　∴Q為BF的中點(diǎn)． 　　點(diǎn)評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和相似三角形的判定等知識(shí)，熟練利用相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．

提示：

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．