Question

3．如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1，1），（3，2），P為x軸上一點(diǎn)，求當(dāng)BP-AP最大時和當(dāng)BP+AP最小時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 ①連接AB，則AB與x軸的交點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出AB所在直線的解析式，再根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
②作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（3，-2），連接AB′交x軸于P′，則AP′+B′P′=AP′+BP′最小，用待定系數(shù)法求出AB所在直線的解析式，再根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：①如圖1，連接BA交x軸與P，則PB-PA=AB值最大，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=-k+b}\\{2=3k+b}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$，
當(dāng)y=0時，即$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$=0，
∴x=-5，
∴P（-5，0）；
②如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（3，-2），連接AB′交x軸于P′，則AP′+B′P′=AP′+BP′最小，
設(shè)直線AB′的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=-m+n}\\{-2=3m+n}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線AB′的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$，
當(dāng)y=0時，即-$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$=0，
∴x=$\frac{1}{3}$，
∴P′（$\frac{1}{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱-最短線路問題及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，是一道綜合性題目．