Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經(jīng)過等腰Rt△AOB的直角頂點A，交y軸于C點，雙曲線y=也經(jīng)過A點．
（1）求點A的坐標(biāo)和k的值；
（2）若點P為x軸上一動點．在雙曲線上是否存在一點Q，使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，a），因為點A在直線y=3x-4上，即把A點坐標(biāo)代入解析式即可算出a的值，進(jìn)而得到A點坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；
（2）如果過B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點，連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點．由ASA易證△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及函數(shù)圖象與點的坐標(biāo)的關(guān)系得出結(jié)果．
解答：解：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，a），
∵點A在直線y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
則點A的坐標(biāo)為（2，2），
∵雙曲線y=也經(jīng)過A點，
∴k=4；

（2）假設(shè)雙曲線上存在一點Q，使得△PAQ是等腰直角三角形．
過B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點，連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點，
則△APQ為所求作的等腰直角三角形．
理由：在△AOP與△ABQ中，
∵∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），
∴Q（4，1），
經(jīng)檢驗，在雙曲線上存在一點Q（4，1），使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形．
點評：本題考查了反比例函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．